La Estimación del Error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto, lo mejor es un observador experimentado para saber con buena aproximación cuál es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar cómo se ha obtenido un error como su propio valor.
Sin embargo, la aplicación de algunos métodos estadísticos permite objetar en gran medida la estimación de errores aleatorios. La estadística permite obtener los parámetros de una población (en este caso el conjunto de todas las medidas que es posible tomar de una magnitud), a partir de una muestra (el número limitado de medidas que podemos tomar).
16.1 Mejor valor de un conjunto de Medidas.
La técnica más razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio.
Valor Medio: Es la media aritmética de todas las medidas. Cuanto más medidas se tomen, más acertado será el resultado.
En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto como por exceso, y al hacer la media se compensarán, por lo menos parcialmente.
16.2 Dispersión y Error. Desviación Estándar.
Obviamente, el error de la medida debe estar relacionado con la Dispersión de los valores; es decir, si todos los valores obtenidos en la medición son muy parecidos, es lógico pensar que el error es pequeño, mientras que si son muy diferentes, el error debe ser mayor.
Desde un punto de vista pesimista, se podría decir que el error es la semidiferencia entre el valor máximo y el mínimo.
Cuando el número de datos es pequeño, suele preferirse el cálculo de la desviación estándar por la ecuación: La primera suele llamarse Desviación Estándar de Población, y la segunda Desviación Estándar Muestral.
16.3 Significado de la Desviación Estándar. La Distribución Normal.
La Desviación Estándar, es la desviación cuadrática media o RMS (Root Mean Square), y representa la medida perfecta de la dispersión de los datos. Esta forma es la más usual de dar el error de una medida, y viene representada por σ.
La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
El conjunto de las medidas de una magnitud, siempre que exista un error accidental, pueden caracterizarse por medio de una distribución estadística. Cuando el error es debido a un gran número de pequeñas causas independientes, la distribución se aproxima a la llamada distribución normal.
16.4 Medidas sin dispersión. Error de lectura o instrumental.
Algunas veces la repetición de la medida de una magnitud conduce siempre al mismo valor.
Como ejemplo, considere la medida de la longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros. Si la medida se realiza con cierta atención, todas las medidas del objeto proporcionan el mismo valor. Es evidente que en este caso la teoría anterior no resulta aplicable, porque al ser nula la dispersión, la desviación estándar resulta igual a cero. En estos casos, la fuente de error no está en la superposición de muchas causas aleatorias, sino en la sensibilidad del aparato de medida.
En efecto, el hecho de que todas las medidas sean iguales no indica en general que no haya error accidental, sino que éste es demasiado pequeño para quedar reflejado en el aparato. En el ejemplo anterior, si el error accidental de las medidas es del orden de 0,001 mm es evidente que la regla no podrá apreciarlo, resultando todas las medidas iguales. En estos casos es necesario estimar el error debido a la sensibilidad finita del aparato de medida.
Es frecuente expresar el error instrumental o de lectura eins de forma que en el intervalo (m-eins, m+eins) haya un 68 % de probabilidad de encontrar el valor de magnitud medida.
Resumiendo, el error instrumental de una medida se expresa frecuentemente por:
eins= s/3
Donde: s es la sensibilidad del aparato de medida.
Se ha visto que cuando el error instrumental es mucho mayor que el accidental, éste queda enmascarado por aquel. El efecto inverso es también posible. Por tanto, en los casos en que el error accidental de una medida sea mucho mayor que el instrumental, sólo se tomará en cuenta el error accidental. En aquellos casos en que los errores sean del mismo orden de magnitud, puede considerarse que el error total es la suma de los dos:
e= eins + σ
Donde: eins es el error instrumental y σ es el error accidental expresado por la desviación estándar.
Las operaciones matemáticas con números inciertos dan lugar a resultados también inciertos, y es importante poder estimar el error de los resultados a partir de los errores de los números con los que se opera.
16.6 Ajuste por mínimos cuadrados.
Un problema más general es determinar la relación funcional entre dos magnitudes x e y como resultado de experimentos.
Suponga que por razones teóricas bien fundadas. Se sabe que entre x e y existe la relación lineal
y=ax+b
Y se desea determinar los parámetros a y b a partir de n medidas de x e y. La pendiente de la recta es a, es decir, la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, y b la ordenada en el origen, es decir la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas.
Para concretar, suponga que los valores que han resultado de un experimento son los siguientes:
Y1: 1.5 2.5 4.0 3.6 5.9 6.1
Φ= (14)
